Gimnazija, 2. letnik, Test |
Test, 2. letnik gimnazije, 2014
1. NALOGA:
Slika prikazuje sistem klade in uteži. Ko klado spustimo, jo utež potegne za sabo. Tik preden se utež zaleti v tla, ima hitrost v = 1{,}5\,{\rm m/s}. Masa klade je m_1 = 180\,{\rm g}, masa uteži je m_2 = 250\,{\rm g}, x = 60\,{\rm cm}
a) Zapišite skupno energijo uteži in klade na začetku! Zapišite, kje ste vzeli ničlo potencialne energije! (3 točke)
Na začetku klada in utež mirujeta. Zato je njuna kinetična energija enaka nič.
Za ničlo potencialne energije vzamemo točko na dnu mize, tik preden bo utež padla na tla. Potem je na začetku potencialna energija uteži enaka (h = x).
W_{pot2-zac}= {m_2\, g \,x } = 1{,}50\,{\rm J}.
Klada je na začetku na višini 60 cm (na sliki izgleda nekoliko več, a to za račune v nadaljevanju ni pomembno, saj se višina klade ne spremeni). Potem je njena potencialna energija enaka:
W_{pot1-zac}= {m_1\, g \,x } = 1{,}08\,{\rm J}.
Skupna energija uteži in klade je na začetku torej enaka:
W_{zac} = (m_1+m_2) \, g \,x } = 2{,}\,58\,{\rm J}.
b) Koliko dela so na tej poti napravila zaviralne sile? (5 točk)
S "to potjo" je mišljeno, da iz začetne lege, ki je narisana na sliki, utež pade na tla (oz tik preden zadene tla), klada na mizi se prav tako premakne za 60 cm. Predpostavimo, da se vrv ne razteza veliko, potem smemo misliti, da ima klada na koncu prav tako hitrost 1,5 m/s.
Zaviralna sila pri tem premikanju je sila trenja med mizo in klado. Nekaj pa prispeva tudi zračni upor. Delo zaviralnih sil bomo izračunali tako, da bomo primerjali končno energijo klade in utež z začetno. Začetno smo že izračunali, dajmo še končno (tik preden utež pade na tla):
W_{kon} = {m_1\,v^2\over 2} + {m_2\,v^2\over 2} + m_1 \, g \, h = 1{,}\,56\,{\rm J}.
Upoštevali smo, da je višina uteži tik preden pade na tla, enaka 0. Zato je takrat njena potencialna energija enaka 0.
Razlika A = W_{kon} - W_{zac} = - 1{,}\,02{\rm J}, je eneka delu, ki so ga opravile zaviralne sile. Prav je, da je rezultat negativen, saj so zaviralne sile delovale v nasproti smeri premika uteži in klade. Delo takšnih sil je negativno.
c) Kolikšne so bile povprečne zaviralne sile na tej poti? (3 točke)
Delo zaviralnih sil, katerih smer je nasprotna smeri gibanja telesa, je enako:
A = - x\, F_{zav}.
Sledi povprečna velikost zaviralnih sil:
F_{zav} = - {A\over x} = - { - 1{,}\,02{\rm J}\over 0{,}6\,{\rm m}} = 1{,}7\,{\rm N}..
2. NALOGA:
Imamo vzmet s koeficientom k = 4{,}9\,{\rm N/m}, ki visi navpično s stropa. Njeno maso zanemarimo. Ko ni raztegnjena, je dolga l_0 = 20\,{\rm cm}. Nanjo pritrdimo utež z maso m = 150\,{\rm g}. Utež nato spustimo, da zaniha na vzmeti. V najnižji točki ima vzmet dolžino l = 80\,{\rm cm}. Zaviralne sile zanemarimo.
a) Kolikšna je skupna energija uteži in vzmeti, preden utež spustimo? Napišite, kje ste izbrali ničlo potencialne energije in ta naj velja za celotno nalogo. (3 točke)
Izberimo ničlo potencialne energije na višini 80 cm pod stropom, ko je vzmet najbolj raztegnjena in utež v najnižji legi. Potem je, preden utež spustimo, skupna energija uteži in vzmeti enaka:
W_1 = m\,g\,h = 0{,}15\,{\rm kg} \cdot 10\,{\rm m/s}^2\cdot 0{,}6\,{\rm m} = 0{,}9\,{\rm J}.
Upoštevali smo, da je takrat vzmet neraztegnjena (zato je njena prožnostna energija enaka nič), da je utež 60 cm nad ničelno višino in da je utež pri miru (nima kinetične energije).
b) Kolikšna je skupna energija vzmeti in uteži, ko je vzmet dolga 60 cm? (3 točke)
Ko je vzmet dolga 60 cm, je potenciala energija manjša od začetne. Povečata se pa prožnostna energija vzmeti in kinetična enegija uteži. Ker zaviralne sile zanemarimo, bo vsota vseh treh energij (potencialna energija uteži, prožnostna vzmeti in kinetična uteži) enaka začetni energiji, to je 0,9 J.
c) Kolikšna je tedaj hitrost uteži? (5 točk)
Hitrost bomo izračunali iz kinetične energije. Poznamo namreč celotno energijo, brez težav izračunamo potencialno energijo uteži in prožnostno energijo vzmeti, ko je vzmet dolga 60 cm. Razlika do celotne energije 0,9 J bo enaka kinetični energiji uteži.
Potencialna energija uteži je
W_{pot} = m\,g\,h = 0{,}15\,{\rm kg} \cdot 10\,{\rm m/s}^2\cdot 0{,}2\,{\rm m} = 0{,}3\,{\rm J}.
Upoštevali smo, da je utež, ko je vzmet dolga 60 cm, 20 cm nad ničelno lego potencialne energije.
Prožnostna energija vzmeti je takrat
W_{pr} = {k\,x^2\over 2} = {4{,}9\,{\rm N/m}\cdot (0{,}4\,{\rm m})^2 \over 2 } = 0{,}39\,{\rm J}.
Upoštevali smo, da je vzmet raztegnjena za 60 cm - 20 cm = 40 cm.
Takrat je torej kinetična energija enaka 0,9 J - 0,39 J - 0,3 J = 0,21 J in hitrost (iz W_{k} = {m\,v^2\over 2}):
v = \sqrt{2\,W_k\over m} = \sqrt{2\cdot 0{,}21\,{\rm J}\over 0{,}150\,{\rm kg} } = 1{,}7\,{\rm m/s}.
3. NALOGA:
Opišite energijske pretvorbe in opravljeno delo pri dviganju dvigala. Obravnavajte točke: (1) ko dvigalo miruje na dnu, (2) ko doseže konstantno hitrost na poti navzgor, (3) ko se začne ustavljati in (4) ko miruje na vrhu. Med vsakima točkama zapišite, kako se pretvarja energija, ali je bilo opravljeno delo in za kaj se je to delo porabilo. (6 točk)
Obravnavajmo najprej pot med (1) in (2). V (1) dvigalo miruje, postavimo v najnižjo lego izhodišče za merjenje potencialne energije. Zato smemo reči, da ima v (1) dvigalo potencialno in kinetično energijo enako nič. Med (1) in (2) se dvigalo giblje pospešeno. Veča se mu potencialna energija in kinetična energija. Delo, ki je za to potrebno, opravlja sila motorja Fm. Če zanemarimo negativno delo zaviralnih sil (na sliki smo jih skupaj označili kot sila trenja Ftr), je na poti od (1) do (2) delo sile motorja Fm enako spremembi potencialne in kinetične energije. Na tej poti mora biti sila motorja Fm večja od teže dvigala.
Med (2) in (3) se dvigalo giblje enakomerno. Če znova zanemrimo zaviralne sile, je na tej poti sila motroja Fm nasprotno enaka teži dvigala Fg. Delo, ki ga opravi motor, je enako spremembi potencialne energije med višino (2) in višino (3).
Med (3) in (4) se dvigalo giblje pojemajoče. Zanemarimo zaviralne sile. Sila motorja Fm je na tej poti manjša od teže Fg. Še vedno pa sila motorja deluje v isti smeri kot se dvigalo giblje, zato opravlja pozitivno delo. Med (3) in (4) se digalo ustavi, zato se zmanjša njegova kinetična energija za prav toliko kot se je med (1) in (2) povečala. Za isto vrednost, kot se je zmanjšala kinetična energija med (3) in (4), je delo sile motroja manjše od spremembe potencialne energije med (3) in (4). Na vrhu (4) je kinetična energija dvigala enaka 0.
Če primerjamo začetek (1) in konec (4), ugotovimo, da je kinetična energija v obeh legah enaka nič. Motorj je torej opravil delo, ki je enako spremembi potencialne energije dvigala med višinama (1) in (4).
Če bi upoštevali še delo zaviralnih sil, bi bilo delo motorja enako spremembi potencialne energije minus negativno delo zaviralnih sil (torej bi spremembi kinetične energije prišteli absolutno vrednost dela zaviralnih sil).
4. NALOGA:
Na Luno deluje gravitacijska sila Zemlje, ki kaže od središča Lune proti središču Zemlje. Luna v prvem približku kroži okoli Zemlje s konstantno hitrostjo na stalni razdalji od Zemlje. Ali gravitacijska sile opravlja delo? Če da, zakaj se porabi to delo, če ne, zakaj ne? (2 točki)
Delo neke sile je enako produktu velikosti te sile, velikosti premika in kosinusa kota med silo in premikom:
A_{F} = F\,\Delta r\,\cos{\varphi}.
Ker Luna kroži okoli Zemlje, je njen premik v vsakem trenutku v tangentni smeri na krožnico. To je pravokotno na zveznico med središčem Lune in Zemlje, kamor kaže gravitacijska sila. Torej sta trenutni premik in gravitacijska sila ves čas pravokotna. Zato je kot \varphi enak 90\,^\circ in njegov kosinus enak 0. Delo gravitacijske sile pri kroženju Lune okoli Zemlje je torej enako 0.