Gimnazija, vprašanje |
Vprašanje, kinematika, Gimnazija, 2014
NALOGA:
Letalo miruje na vzletni stezi. V nekem trenutku začne voziti enakomerno pospešeno. Po t_1 = 20\,{\rm s}, ko prevozi x = 400\,{\rm m}, vzleti. Kolikšna je hitrost letala ob vzletu? Nariši graf hitrosti in pospeška v odvisnosti od časa za to gibanje.
Narišimo najprej grafa. Ker gre za enakomerno pospešeno gibanje, pomeni, da se hitrost enakomerno povečuje s časom (torej bo graf premica oz. daljica). Začetna hitrost je enaka nič, zato daljica začne iz točke 0,0.
Pospešek je konstanten. Zato je graf pospeška od časa vodoravna premica, oz. daljica od časa 0 do 20 s.
Na obeh grafih še ne vemo umeriti (= napisati ustreznih vrednosti ob navpični osi) navpičnih osi, saj ne poznamo pospeška niti končne hitrosti.
Zdaj pa še izračunajmo hitrost v_1 in pospešek a.
Hitrost v_1 najhitreje izračunamo, če vemo, da površina pod grafom v(t) (pobarvano na sliki) pomeni opravljeno pot. Površina pobarvanega trikotnika je enaka stranica*stranica/2, torej:
x = {v_1\cdot t_1\over 2}.
Iz zgornje enačbe izračunamo v_1 = {2 \, x\over t_1} = {2\cdot 400\,{\rm m}\over 20\,{\rm s} } = 40\,{\rm m/s}.
Pospešek zdaj izračunamo iz definicije pospeška:
a = {\Delta v \over \Delta t} = {40\,{\rm m/s} \over 20\,{\rm s}} = 2\,{\rm m/s}^2.
Sprememba hitrosti \Delta v je namreč končna hitrost 40 m/s minus začetna hitrost 0. Časovni interval \Delta t, v katerem se hitrost spremeni od začetne do končne, pa je 20 s.
Nazadnje še umerimo navpični osi na grafih - zapisano z modro barvo.
Hitrost tik pred vzletom in pospešek lahko izračunamo še na drug način. Lahko uporabimo zvezi za enakomerno pospešeno gibanje
v = v_0 + a\,t in
x = v_0\,t + {a\,t^2\over 2}.
Najprej ju poenostavimo tako, da upoštevamo, da je začetna hitrost v_0 = 0.
Potem iz prve izrazimo pospešek (tega še ne poznamo a = v/t) in ga nesemo v drugo enačbo. Dobimo
x = { {v\over t}\,t^2\over 2} = {v\,t\over 2},
kar je enaka enačba kakor smo jo prej zapisali iz upoštevanja površine pod grafom.